Vectores:

Algunas magnitudes físicas como el tiempo, la temperatura, la masa y otras que se verán en el curso de Física las identificamos con un número y una unidad sin preocuparnos por nada más. Otras sin embargo tienen una direccionalidad que no pueden ser descriptas por un solo número. Por ejemplo si quisiéramos establecer sin lugar a dudas la posición de una lámpara en una habitación, necesitaríamos decir:

 

1. A qué altura del techo (o piso se encuentra)   
2. A qué distancia de la puerta se encuentra
3. A qué distancia de la pared adyacente a la puerta se encuentra.

Es decir que se necesitan como mínimo tres números para determinar esa posición
Otro ejemplo familiar es la velocidad, si decimos que un automóvil se mueve a una velocidad de 100 km./h en la Ruta que une. A con B no basta decir solamente esto sino necesitamos saber si va o vuelve. Necesitamos saber no solamente cuan rápido va sino también su dirección y hacia dónde.
Una cantidad física para la cual nos alcanza un número para determinarla la llamamos escalar, mientras que a aquellas que se necesita más de un número para identificarlas (no solamente cuánto sino también la dirección en el espacio y hacia dónde va ) las llamamos vectoriales. Podemos operar con escalares de la manera que estamos acostumbrados a realizar las operaciones aritméticas, sumar, multiplicar, dividir etc. Sin embargo, para combinar vectores se necesita determinar un conjunto distinto de operaciones. Porque en realidad podríamos pensar:- Bien!. Para determinar un vector si necesitan tres números entonces cada tres números tenemos un vector. No!!!, Para que estos tres números sean un vector deben estar asociados a un sistema de referencia (o coordenadas), de manera tal que si giramos el sistema de coordenadas, estos números se "retuercen" o se "mezclan" con leyes precisas que discutiremos enseguida.

VECTOR DESPLAZAMIENTO

Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención este punto puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo.
El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayúscula que aquí la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras.
En la Fig. 1 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una línea recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no está relacionado con la distancia recorrida.

Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento) por la misma letra del vector perno no en negrita o bien:
(Magnitud o módulo de P) = P =  P
Por definición el módulo de P es un escalar (un número) y siempre es positivo.
Suponemos ahora que una partícula tiene un desplazamiento P, seguido por un desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo punto inicial un único desplazamiento R como podemos ver en la figura.

Lo que en símbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo llama suma o resultante. Poner atención que aquí estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de sus módulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones. Podríamos preguntarnos si el desplazamiento es el mismo si hubiéramos considerado primero el desplazamiento de Q y luego el de P. ¿Cuál es la respuesta?.
Veamos.

Simbólicamente se puede expresar R = Q + P que resulta igual a P + Q, es decir que la suma vectorial obedece la propiedad conmutativa. Por lo tanto la resultante es la misma
La figura anterior sugiere una representación gráfica de la suma vectorial que la conocemos por la regla del paralelogramo. Los vectores P y Q se llevan al mismo punto, de la "cabeza’ de P se traza una recta paralela a Q y se hace lo mismo desde la "cabeza’ de Q trazando una paralela a P. La intersección de ambas conjuntamente con P y Q genera un paralelogramo y el vector resultante R es la diagonal del mismo.
Cuando dos vectores son paralelos (o antiparalelos,) el vector resultante es la suma (o resta) de las magnitudes de los vectores correspondientes.
Para sumar más de dos vectores , debemos primero encontrar el vector suma de cualquier par de vectores y ese vector resultante sumarlo con el siguiente y así sucesivamente. En la siguiente figura se muestra la suma de tres vectores P. Q y S . Los vectores P y Q se suman primero dando como resultado T y luego éste se suma con S para obtener la resultante R.
Es decir que R = (P + Q)+ S = T + S

Alternativamente R = P + (Q + S) = P + U.

 

Si bien nosotros en el ejemplo utilizamos la regla de suma considerándolos de a pares, para encontrar la resultante, podríamos también sumarlos directamente armando un polígono, llevando la "cola" de un vector a la cabeza del otro, manteniendo siempre su dirección y sentido de manera tal que se forme un polígono, que se cierra cuando la "cabeza" del último vector a ser sumado se une con la "cola "del primero.
Tengan en cuenta que estas sumas se pueden realizar independientes del sistema de coordenadas.
Una cantidad vectorial puede ser multiplicada por un escalar, en este caso el vector resultante de tal multiplicación tiene la misma dirección que el vector original. Por ejemplo, si queremos multiplicar el vector P por un número cualquiera, digamos 2, el vector resultante tendrá el doble de la magnitud (o módulo) pero la dirección es la misma.
También este escalar podría ser una magnitud física. La ecuación tan conocida de
F = m a, al vector aceleración a se lo multiplica por un escalar m (que es un número pero tiene unidades de masa) y el resultado es la fuerza F cuya dirección es la misma que la aceleración a.
Si el escalar es un número negativo el vector resultante tiene la misma dirección pero sentidos opuestos y si por supuesto ese escalar es cero el resultado es obvio.
También podemos pensar este tipo de producto como lo que podemos llamar operación Chicle. Si el escalar es un número mayor o igual que 1 el módulo del vector resultante es mayor (se estira), si el escalar está entre cero y uno, el módulo es menor (se acorta), si es negativo invierte el sentido y si es cero..... no hay más vector.
A partir del caso especial de multiplicación por –1, lo que obtenemos es un vector de la misma magnitud y dirección que el original pero con sentido contrario (-1)P = -P, lo que nos permite definir la resta entre vectores es decir:

P – Q = P + (-1) Q = R

COMPONENTES DE UN VECTOR

El sumar o restar vectores gráficamente nos permiten tener una idea de las magnitudes, direcciones y sentido de los vectores resultantes, pero medir en un diagrama como esos puede resultar incómodo, más aún se pierde precisión. Por eso es conveniente llevar a cabo la descomposición del vector en sus componentes. Para aclara lo que llamamos componentes, vamos a comenzar con un sistema de coordenadas rectangulares (cartesiano) como el que se muestra en la figura 2. Decimos que la componente x del vector P es la sombra que el vector hace sobre el eje x y la llamamos Px, mientras que la componente y de P es la sombra sobre el eje y Py.
De manera tal que la suma vectorial de ellos resulta el vector P.

P = P x + P y

Por definición como cada componente está en la dirección de los ejes coordenados solamente se necesita un solo número para describir cada uno.
Cuando la componente del vector apunta en la dirección +x, nosotros definimos un número Px que sea el módulo de Px, si el vector apunta en la dirección –x, entonces definimos un número negativo - Px recordando siempre que el módulo de un vector siempre es positivo. Lo mismo podemos definir para Py. Tanto Px como Py se llaman las componentes del vector P.

De la figura 2 encontramos además que:
Px = P cos 
Py = P sen 
Estas componentes son los lados de un triángulo rectángulo y la hipotenusa tiene
magnitud P. El módulo de P y su dirección están relacionadas con sus componentes como:

tg  = PY / PX

Para encontrar la dirección de P, es decir el ángulo  , primero se calcula la tg por medio de la ecuación anterior y luego, se encuentra la función inversa de la tangente.
Es decir que  = arctg (PY / PX ), noten que el signo de  depende de los signos de las componentes. Si una componente en negativa el ángulo  será negativo, lo que significa que la dirección del vector se encontrará en el cuadrante correspondiente como lo vimos en la Fig.3.
En este punto vale la pena aclarar para que no haya ambigüedades en la determinación de  , sabiendo que

al definir cos  y sen  podemos calcular  para 0   < 2 .
Cuando se planteen un problema, pueden expresar un vector P, ya sea por sus componentes Px , Py como por su módulo, P , y por su dirección  .
Las componentes de un vector cambian si uno cambia el sistema de coordenadas, más aún las componentes de un vector respecto de un sistema fijo de coordenadas cambian si cambia su módulo, su orientación o ambos. Esto lo veremos en la sección siguiente.

VECTORES UNITARIOS O VERSORES

Los vectores a menudo se expresan en términos de vectores unitarios llamados versores. Estos versores son vectores sin unidades, de módulo uno y se utilizan para expresar las direcciones de los vectores, pero no tienen otra significación física. Se usan simplemente porque son muy convenientes para expresar las direcciones del espacio.

Por ejemplo, para las coordenadas cartesianas, utilizaremos los vectores i, j, y k para determinar las direcciones x, y, y z respectivamente.
Estos versores forman un conjunto ortogonal como se muestra en la figura

En la notación de vectores unitarios el vector P, que está en el plano xy lo podemos escribir:
P = Px i + Px j
Ahora vamos a ver cómo podemos aplicar esto a la suma de vectores. Tenemos dos vectores P y Q que están en el plano xy, y queremos obtener el vector resultante R. Como antes R = P + Q.
A cada uno de ellos los podemos escribir en función de los versores como:
P = Px i + Px j, y Q = Qx i + Qx j. Sumamos componente a componente, puesto que el vector resultante R = Rx i + Rx j donde:
Rx = Px + Qx
Ry = Py + Qy
Es decir que R = (Px + Qx) i + (Py + Qy) j
El módulo de R y el ángulo que forma el vector resultante con el eje x, (dirección) la calculamos como antes:

Otra vez hay que tener en cuenta los signos de las componentes cuando se usa el método algebraico o el geométrico.

Estrategia para operar con vectores
Cuando se tienen dos o más vectores que deben ser sumados o restados, recordar que:
o Seleccionar el sistema de coordenadas
o Dibujar cada vector y darle un nombre
o Encontrar las componentes de cada vector
o Usar el teorema de Pitágoras para encontrar el módulo del vector resultante
Usar la función trigonométrica adecuada para encontrar la dirección del vector resultante., es decir el ángulo que forma con el eje.